Математика в системе человеческих знаний есть раздел, занимающийся такими понятиями, как количество, структура, соотношение и т. п. Развитие математики началось с создания практических искусств счёта и измерения линий, поверхностей и объёмов.

Началом этого развития можно считать появление у первобытного человека определённого представления о единице и неопределённого представления «множества». Последующее развитие первобытного счисления состояло в последовательном формировании понятий об отдельных целых числах — до пределов, которые определялись у различных народов самыми разнообразными обстоятельствами. В целом ход первоначального развития счисления долгое время затруднялся неумением первобытного человека отделять числовое представление от конкретного представления о группе предметов. Вследствие этого счёт долгое время оставался только вещественным.

На исключительно большую величину промежутка времени, в течение которого выделялось представление числа три указывает факт существования во многих языках грамматической формы двойственного числа (греческий, иврит). Предполагается, что на момент образования этих форм носители соответствующих языков при счёте оперировали только понятиями «один», «два» и «много».

С распространением счёта на большие количества появилась идея считать не только единицами, но и, так сказать, пакетами единиц, содержащими, например, 10 объектов. Эта идея немедленно отразилась в языке, а затем и в письменности. Принцип именования или изображения числа («нумерация») может быть:

* аддитивным (один+на+дцать, XXX = 30)
* субтрактивным (IX, девя-но-сто)
* мультипликативным (пять*десят, три*ста)

Счётное устройство инков
Счётное устройство инков

Для запоминания результатов счёта использовали зарубки, узелки и т. п. С изобретением письменности стали использовать буквы или особые значки для сокращённого изображения больших чисел. При таком кодировании обычно воспроизводился тот же принцип нумерации, что и в языке.

Названия чисел в европейских языках сходны: zwei, two, duo, deux… Это говорит о том, что понятие абстрактного числа появилось очень давно, ещё до разделения этих языков. При образовании числительных у большинства народов число 10 занимает особое положение, так что понятно, что счёт по пальцам был широко распространён. Отсюда происходит повсеместно распространённая десятичная система счисления. Хотя есть и исключения: 80 по-французски quatre-vingt (то есть 4 двадцатки), а 90 — quatre-vingt-dix (4*20+10); здесь явно считали по пальцам рук и ног. Аналогично устроены числительные датского, осетинского, абхазского языков. Ещё яснее счёт двадцатками в грузинском языке. Шумеры и ацтеки, судя по языку, считали пятёрками.

Есть и более экзотичные варианты. Вавилоняне в научных расчётах использовали шестидесятиричную систему. А одно из папуасских племён использует двоичную:

Урапун (1); Окоза (2); Окоза-Урапун (3); Окоза-Окоза (4) Окоза-Окоза-Урапун (5); Окоза-Окоза-Окоза(6); Много

Когда понятие абстрактного числа окончательно утвердилось, следующей ступенью стали операции с числами. Натуральное число — это идеализация конечного множества однородных, устойчивых и неделимых предметов (людей, овец, домов и т. п.). Для счёта важно иметь математические модели таких важнейших событий, как объединение таких множеств в одно или, наоборот, отделение части множества. Так появились операции сложения и вычитания. Умножение для натуральных чисел появилось в качестве, так сказать, пакетного сложения. Свойства и взаимосвязь операций открывались постепенно.

Другое важное практическое действие — разделение на части — со временем абстрагировалось в четвёртую арифметическую операцию — деление. Делить на 10 частей сложно, поэтому десятичные дроби, удобные в сложных вычислениях, появились сравнительно поздно. Первые дроби обычно имели знаменателем 2, 3, 4, 8 или 12. Например, у римлян стандартной дробью была унция (1/12). Средневековые денежные и мерные системы несут на себе явный отпечаток древних недесятичных систем: 1 английский пенс = 1/12 шиллинга, 1 дюйм = 1/12 фута, 1 фут = 1/3 ярда и т. д.

Примерно в то же время, что и числа, человек абстрагировал плоские и пространственные формы. Они получили названия схожих с ними реальных предметов: например, у греков «ромбос» означает волчок, «трапексион» — столик (трапеция), «сфера» — мяч. Теория измерений появилась значительно позже, и нередко содержала ошибки: характерным примером является ложное учение о равенстве площадей фигур при равенстве их периметров, и обратно. Впрочем, это неудивительно: измерительным инструментом служила мерная верёвка с узлами или пометками, так что измерить периметр можно было без труда, а для определения площади в общем случае ни инструментов, ни математических методов не было.

[править] Древний Восток

[править] Египет
Иероглифическая запись уравнения
Иероглифическая запись уравнения ~x(\frac{2}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{7}+1)=37

Древнейшие древнеегипетские математические тексты относятся к началу II тысячелетия до н. э. Математика тогда использовалась в астрономии, мореплавании, землемерии, при строительстве домов, плотин, каналов и военных укреплений. Денежных расчётов, как и самих денег, в Египте не было. К сожалению, египтяне писали на папирусе, который сохраняется плохо, и поэтому наши знания о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона или Греции. Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов — не зря ведь греческие математики учились у египтян.

Основная статья: Математика в Древнем Египте

[править] Вавилон

Вавилоняне писали клинописными значками на глиняных табличках, которые в немалом количестве дошли до наших дней (более 500000, из них около 400 связаны с математикой). Поэтому мы имеем довольно полное представление о математических достижениях учёных Вавилонского государства. Отметим, что корни культуры вавилонян были в значительной степени унаследованы от шумеров — клинописное письмо, счётная методика и т. п.

Всё же богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных приёмов, лишённых доказательной базы. Систематический доказательный подход в математике появился только у греков.

Основная статья: Вавилонская математика

[править] Китай
Китайские (вверху) и японские счёты
Китайские (вверху) и японские счёты

Китайцам было известно многое, в том числе: вся базовая арифметика (включая нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного), действия с дробями, пропорции, отрицательные числа, площади и объёмы основных фигур и тел, теорема Пифагора и алгоритм подбора пифагоровых троек, решение квадратных уравнений. Был даже разработан метод фан-чэн для решения систем произвольного числа линейных уравнений — аналог классического европейского метода Гаусса. Численно решались уравнения любой степени — способом тянь-юань, напоминающим метод Руффини-Горнера для нахождения корней многочлена.

Основная статья: Математика в древнем Китае

[править] Древняя Греция
Рафаэль Санти. Афинская школа
Рафаэль Санти. Афинская школа

Математика родилась в Греции. Это, конечно, преувеличение, но не слишком большое. В странах-современниках Эллады математика использовалась либо для обыденных нужд (подсчёты, измерения), либо, наоборот, для магических ритуалов, имевших целью выяснить волю богов (астрология, нумерология и т. п.).

Греки подошли к делу с другой стороны: они выдвинули дерзкий тезис «Числа правят миром». Или, как сформулировали эту же мысль два тысячелетия спустя: «Природа разговаривает с нами на языке математики».

Греческая математика поражает прежде всего красотой и богатством содержания. Многие учёные Нового времени отмечали, что мотивы своих открытий почерпнули у древних. Зачатки анализа заметны у Архимеда, корни алгебры — у Диофанта, аналитическая геометрия — у Аполлония и т. д. Но главное даже не в этом. Два достижения греческой математики далеко пережили своих творцов.

Первое — греки построили математику как целостную науку с собственной методологией, основанной на чётко сформулированных законах логики.

Второе — они провозгласили, что законы природы постижимы для человеческого разума, и математические модели — ключ к их познанию.

В этих двух отношениях античная математика вполне современна.

Основная статья: Математика в Древней Греции

[править] Индия
Бхаскара
Бхаскара

Индийская нумерация (способ записи чисел) изначально была изысканной. В санскрите были средства для именования чисел до 1050. Для цифр сначала использовалась сиро-финикийская система, а с VI века до н. э. — написание «брахми», с отдельными знаками для цифр 1-9. Несколько видоизменившись, эти значки стали современными цифрами, которые мы называем арабскими, а сами арабы — индийскими.

Около 500 г. н. э. неизвестные гении в Индии изобрели десятичную позиционную систему записи чисел. В новой системе выполнение арифметических действий оказалось неизмеримо проще, чем в старых, с неуклюжими буквенными кодами, как у греков, или шестидесятиричных, как у вавилонян.

Основная статья: История математики в Индии

[править] Страны ислама
Страница из книги аль-Хорезми
Страница из книги аль-Хорезми

Математика Востока, в отличие от греческой, всегда носила более практичный характер. Соответственно наибольшее значение имели вычислительные и измерительные аспекты. Основными областями применения математики были торговля, ремесло, строительство, география, астрономия и астрология, механика, оптика.

В целом можно сказать, что математикам стран ислама в ряде случаев удалось поднять полуэмпирические индийские разработки на высокий теоретический уровень, сравнимый с греческим, и тем самым расширить их мощь. Хотя этим синтезом дело в большинстве случаев и ограничилось. Многие математики виртуозно владели классическими методами, но новых результатов получено немного.

Основная статья: Математика исламского средневековья

[править] Западная Европа

[править] Средневековье, IV—XV века

В V веке наступил конец Западной Римской империи, и территория Западной Европы надолго превратилась в разбойничий хаос (гунны, готы, венгры, арабы, норманны и т. п.). Наука в полном упадке, грамотных людей можно (с трудом) найти только в монастырях. Потребность в математике ограничивается арифметикой и расчётом календаря церковных праздников, причём арифметика изучается по учебнику Никомаха тысячелетней давности, в сокращённом переводе Боэция на латинский.

Среди немногих высокообразованных людей можно отметить ирландца Бе́ду Достопочтенного (он занимался календарём, пасхалиями, хронологией, теорией счёта на пальцах) и монаха Герберта, с 999 г. — римского папы под именем Сильвестр II, покровителя наук; ему приписывают авторство нескольких трудов по астрономии и математике.

Стабилизация и восстановление европейской культуры начинаются с XI века. Появляются первые университеты (Салерно, Болонья). Расширяется преподавание математики: в обязательный квадривиум с V—VI веков входили арифметика, геометрия, астрономия и музыка. Использовались, судя по всему, учебники, написанные христианскими авторами, не слишком высокого уровня.

Первое знакомство европейских учёных с античными открытиями происходило в Испании. В XII веке там переводятся (с греческого и арабского на латинский) основные труды великих греков и их исламских учеников. С XIV века главным местом научного обмена становится Византия. Особенно охотно переводиоись и издавались «Начала» Евклида; постепенно они обрастали комментариями местных геометров.

В конце XII века на базе нескольких монастырских школ был создан Парижский университет, где обучались тысячи студентов со всех концов Европы; почти одновременно возникают Оксфорд и Кембридж в Британии. Интерес к науке растёт, и одно из проявлений этого — смена числовой системы. Долгое время в Европе применялись римские цифры. В XII—XIII веках публикуются первые в Европе изложения десятичной позиционной системы записи (сначала переводы аль-Хорезми, потом собственные руководства), и начинается её применение. С XIV века арабские цифры начинают вытеснять римские даже на могильных плитах. Только в астрономии ещё долго применялась 60-ричная вавилонская арифметика.

Первым крупным математиком средневековой Европы стал в XIII веке Леонардо Пизанский, известный под прозвищем Фибоначчи. Основной его труд: «Книга абака» (1202, второе переработанное издание — 1228). Абаком Леонардо называл арифметические вычисления. Фибоначчи был хорошо знаком (по арабским переводам) с достижениями древних и систематизировал значительную их часть в своей книге. Его изложение по полноте и глубине сразу стало выше всех античных и исламских прототипов, и долгое время было непревзойдённым. Эта книга оказала огромное влияние на распространение математических знаний, популярность индийских цифр и десятичной системы в Европе.

В книгах «Арифметика» и «О данных числах» Иордана Неморария усматриваются зачатки символической алгебры, до поры до времени не отделившейся от геометрии.

В это же время Роберт Гроссетест и Роджер Бэкон призывают к созданию экспериментальной науки, которая на математическом языке сможет описать природные явления.

В XIV веке университеты появляются почти во всех крупных странах (Прага, Краков, Вена, Гейдельберг, Лейпциг, Базель и др.).

В конце XIV века жил Никола Орем, или Николай Орезмский, математик, физик, астроном, философ, епископ. Впервые в Европе провозгласил и обосновал, хотя и очень осторожно, вращение Земли (но в конце книги предусмотрительно отверг эту идею). Ввёл изображение зависимости с помощью графика, исследовал сходимость рядов. В алгебраических трудах рассматривал дробные показатели степени.

Видный немецкий математик и астроном XV века Иоганн Мюллер стал широко известен под именем Региомонтан — латинизированным названием его родного города Кёнигсберг (не в Пруссии, а в Баварии). Он напечатал первый в Европе труд, специально посвящённый тригонометрии. По сравнению с арабскими источниками нового немного, но надо особо отметить систематичность и полноту изложения.

Лука Пачоли, крупнейший алгебраист XV века, друг Леонардо да Винчи, дал ясный (хотя не слишком удобный) набросок алгебраической символики.

[править] XVI век
Математики XVI века, средневековая миниатюра
Математики XVI века, средневековая миниатюра

XVI век стал переломным для европейской математики. Полностью усвоив достижения предшественников, она несколькими мощными рывками вырвалась далеко вперёд.

Первым триумфом стало открытие общего метода решения уравнений третьей и четвёртой степенн. Итальянские математики дель Ферро, Тарталья и Феррари решили проблему, с которой несколько веков не могли справиться лучшие математики мира. Неприятно, правда, что в формулах иногда появлялись корни из отрицательных чисел, но европейские математики, поверившие в свои силы, не смутились, назвали эти корни «мнимыми числами» и выработали правила обращения с ними, приводящие к правильному результату. Так в математику впервые вошли комплексные числа.

Второй важнейший шаг к новой математике сделал француз Франсуа Виет. Он окончательно сформулировал символический метаязык арифметики — буквенную алгебру. С её появлением открылась возможность проведения исследований невиданной ранее глубины и общности. В своей книге «Введение в аналитическое искусство» Виет показал примеры мощи нового метода, найдя знаменитые формулы Виета. Символика Виета ещё выглядела не вполне привычно, современный её вариант позднее предложил Декарт.

Третье великое открытие XVI века — изобретение логарифмов (Джон Непер). Сложные расчёты упростились во много раз, а математика получила новую неклассическую функцию с большим будущим.

В 1585 г. фламандец Симон Стевин издаёт книгу «Десятая» о правилах действий с десятичными дробями, после чего десятичная система одерживает окончательную победу и в области дробных чисел. Стевин также провозгласил полное равноправие рациональных и иррациональных чисел, а также (с некоторыми оговорками) и отрицательных чисел.

Одновременно растёт престиж математики, в изобилии появляется множество практических задач, требующих решения — в артиллерии, мореплавании, строительстве, промышленности, гидравлике, астрономии, картографии, оптике и др. И, в отличие от античности, учёные Возрождения не чурались таких задач. Чистых математиков-теоретиков фактически не было. Появляются первые Академии наук. Роль университетской науки падает, зато появляется множество учёных-непрофессионалов: Стевин — военный инженер, Виет и Ферма — юристы, Дезарг и Рен — архитекторы, Лейбниц — чиновник, Непер, Джон, Декарт, Паскаль и Лопиталь — частные лица.

[править] XVII век
Геометрические измерения (XVII век)
Геометрические измерения (XVII век)

В XVII веке победное наступление в математике расширяется, и к концу века облик науки изменяется до неузнаваемости.

Рене Декарт исправляет стратегическую ошибку античных математиков и восстанавливает алгебраическое понимание числа (вместо геометрического). Более того, он указывает способ перевода геометрических предложений на алгебраический язык (с помощью системы координат), после чего исследование становится намного эффективнее. Так родилась аналитическая геометрия. Декарт рассмотрел множество примеров, иллюстрирующих огромную мощь нового метода, и получил немало результатов, неизвестных древним. Особо следует отметить разработанную им математическую символику, близкую к современной.

Аналитический метод Декарта немедленно взяли на вооружение Валлис, Ферма и многие другие видные математики.

Пьер Ферма, Гюйгенс и Якоб Бернулли открывают новый раздел математики, которому суждено большое будущее — теорию вероятностей.

И, наконец, появляется не очень чёткая, но глубокая идея — анализ произвольных гладких кривых с помощью разложения их на бесконечно малые отрезки прямых. Первой реализацией этой идеи был во многом несовершенный метод неделимых (Кеплер, Кавальери, Ферма), и уже с его помощью было сделано множество новых открытий. В конце XVII века идея неделимых была существенно расширена Ньютоном и Лейбницем, и появился исключительно могучий инструмент исследования — математический анализ. Это математическое направление стало основным в следующем, XVIII веке.

Теория отрицательных чисел всё ещё находилась в стадии становления. Оживлённо обсуждалась, например, странная пропорция 1:(-1) = (-1):1 — в ней первый член слева больше второго, а справа — наоборот, и получается, что большее равно меньшему (парадокс Арно). Комплексные числа считались фиктивными, правила действий с ними были окончательно не отработаны. Более того, было неясно, все ли «мнимые числа» можно записать в виде a+bi или, скажем, при извлечении некоторого корня могут появиться мнимости, не сводящиеся к этой форме (так полагал даже Лейбниц). Только в XVIII веке Даламбер и Эйлер установили, что комплексные числа замкнуты относительно всех операций, включая извлечение корня любой степени.

Во второй половине XVII века появляется научная периодика, ещё не специализированная по видам наук. Начало положили Лондон и Париж, но особо важную роль сыграл журнал Acta Eruditorum (1682, Лейпциг, на латинском языке). Французская Академия наук издаёт свои записки (Memoires) с 1699 г. Выходили эти журналы редко, и переписка продолжала оставаться незаменимым средством распространения информации.

[править] XVIII век

XVIII век в математике стал веком торжествующего анализа. Критика его за плохую обоснованность быстро смолкла под давлением триумфальных успехов нового подхода. В науке, благодаря Ньютону, царила механика — все прочие взаимодействия считались вторичными, следствиями механических процессов. Развитие анализа и механики происходили в тесном переплетении; первым это великое объединение осуществил Эйлер, который убрал из ньютоновской механики архаичные конструкции и подвёл под динамику аналитический фундамент (1736).

Главным методом познания природы становится составление и решение дифференциальных уравнений. После динамики точки настал черёд динамики твёрдого тела, затем — жидкости и газа.

Теория тяготения Ньютона поначалу встречала трудности в описании движения Луны, однако работы Клеро, Эйлера и Лапласа ясно показали, что никаких дополнительных сил, кроме ньютоновских, в небесной механике нет.

Центрами математических исследований остаются Академии наук, по большей части государственные. Значение университетов невелико (исключая страны, где академий ещё нет), физико-математические факультеты всё ещё отсутствуют. Ведущую роль играет Парижская академия. Английская школа после Ньютона обособляется и на целый век снижает научный уровень; число видных математиков в Англии XVIII века невелико — де Муавр (французский эмигрант-гугенот), Котс, Тейлор, Маклорен, Стирлинг.

Математики становятся профессионалами, любители почти исчезают со сцены.

C точки зрения математики, XVIII век можно назвать веком Эйлера. Его гигантская фигура накладывает отпечаток на все математические достижения столетия. Именно он сделал из анализа совершенный инструмент исследования. Эйлер существенно обогатил ассортимент функций, разработал технику интегрирования, далеко продвинул практически все области математики. Наряду с Мопертюи он сформулировал принцип наименьшего действия как высший и универсальный закон природы.

В теории чисел окончательно легализуются мнимые числа (хотя полная теория их ещё не создана). Доказана основная теорема алгебры. Эйлер разработал теорию делимости целых чисел и теорию сравнений (вычетов). Он ввёл понятие первообразного корня, доказал его существование для любого простого числа и нашёл количество первообразных корней, открыл квадратичный закон взаимности. Вместе с Лагранжем опубликовал общую теорию цепных дробей, и с их помощью решили немало задач диофантова анализа. Эйлер также обнаружил, что в ряде задач теории чисел можно применить аналитические методы.

Стремительно развивается линейная алгебра. Первое подробное описание общего решения линейных систем дал в 1750 году Габриэль Крамер. Близкую к современной символику и глубокий анализ определителей дал А. Т. Вандермонд (1735—1796]. Лаплас в 1772 году дал разложение определителя по минорам. Теория определителей быстро нашла множество приложений в астрономии и механике (вековое уравнение), при решении алгебраических систем, исследовании форм и т. д.

В алгебре назревают новые идеи, завершившиеся уже в XIX веке теорией Галуа и абстрактными структурами. Лагранж при исследовании уравнений пятой степени и выше вплотную подходит к теории Галуа (1770), выяснив, что «истинная метафизика уравнений — теория подстановок».

В геометрии появляются новые разделы: дифференциальная геометрия кривых и поверхностей, начертательная геометрия (Монж), проективная геометрия (Лазар Карно).

Теория вероятностей перестаёт быть экзотикой и доказывает свою полезность в самых неожиданных областях человеческой деятельности. Де Муавр и Даниил Бернулли открывают нормальное распределение. Возникают вероятностная теория ошибок и научная статистика. Классический этап развития теории вероятностей завершили работы Лапласа. Однако приложения её к физике тогда ещё почти отсутствовали (не считая теории ошибок).

Математический анализ в XVIII веке был главным объектом приложения усилий математиков. Способствуя бурному развитию естественных наук, он, в свою очередь, прогрессировал сам, получая от них всё более и более сложные задачи. На стыке этого обмена идеями родилась математическая физика. Одновременно анализ алгебраизировался и окончательно (начиная с Эйлера) отделился от геометрии и механики; более того, механика фактически стала прикладным разделом анализа.

Анализ распространяется на комплексную область. Аналитическое продолжение большинства функций проблем не вызвало, и были обнаружены неожиданные связи между стандартными функциями (Формула Эйлера). Затруднения встретились для комплексного логарифма, но Эйлер их успешно преодолел. Были введены конформные отображения, высказана гипотеза о единственности аналитического продолжения. Комплексные функции нашли даже применение в прикладных науках - гидродинамике, теории колебаний (Даламбер, Эйлер).

Далеко продвинулись теория и техника интегрирования. Входят в широкое употребление кратные интегралы (Эйлер, Лагранж), причём не только в декартовых координатах. Появляются и поверхностные интегралы (Лагранж, Гаусс). Усиленно разрабатывается теория дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так и в частных производных. Математики проявляют исключительную изобретательность при решении дифференциальных уравнений в частных производных, для каждой задачи изобретая свои методы решения. Сформировалось понятие краевой задачи, возникли первые методы её решения.

В конце XVIII века было положено начало общей теории потенциала (Лагранж, Лаплас, Лежандр). Для тяготения потенциал ввёл Лагранж (1773, термин предложил Грин в 1828 г.). Вскоре Лаплас обнаружил связь потенциала с уравнением Лапласа и ввёл важный класс ортогональных сферических функций.

Возникают многообещающее вариационное исчисление и вариационные принципы физики (Эйлер, Лагранж).

В конце XVIII века появляются специализированные математические журналы, увеличивается интерес к истории науки. Выходит двухтомная «История математики» Монтюкла (посмертно переизданная и дополненная до 4 томов). Расширяется издание научно-популярной литературы.